Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами будем называть дифференциальные уравнения вида

y’’ + py’ + qy = f(x),

где р и q — заданные постоянные, a f(x) — заданная непрерывная функция.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения у имеет следующий вид:

y = y0 + yч,

где у0 — общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения у’’ + ру’ + qy = 0, а уч — частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Методы построения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения рассматривались выше. Построение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения в общем случае представляет собой достаточно сложную задачу. Поэтому рассмотрим метод построения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью f(x), то есть когда правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

где Рn(х), Qm(x) — многочлены, соответственно степени n и m, α, β — постоянные (числа).

В этом случае частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения строится методом неопределенных коэффициентов. Суть этого метода заключается в том, что частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде

где Мs(х), Ns(x) — многочлены степени s с неопределенными коэффициентами, s — равно наибольшему из двух чисел n и m, ε — число корней характеристического уравнения k2 + pk + q = 0 соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения у’’ + ру’ + qy = 0 равных α + iβ.

Данный вид частного решения подставляется в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, после чего неопределенные коэффициенты многочленов Мs(х), Ns(x)подбираются таким образом, чтобы полученное равенство тождественно выполнялось при всех значениях х. Для этого приравниваются коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях в левой и правой частях указанного выше равенства. В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочленов Мs(х),Ns(x). Решая эту систему и определяя коэффициенты многочленов, подставляют найденные для них значения в исходный вид частного решения, завершая тем самым построение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения у’’ - 10у’ + 26у = 52x, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = -1, y'(0) = 0.

Найдем корни характеристического уравнения соответствующего однородного дифференциального уравнения у’’ - 10у’ + 26у = 0:

В этом случае общее решение однородного уравнения будет иметь вид

Правая часть исходного уравнения 5x соответствует α = 0, β = 0, и первой степени многочлена Рn(х). Корни характеристического уравнения не совпадают с числом α + iβ = 0, и частное решение неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде уч = Ах + В.

Подставив данный вид частного решения в исходное дифференциальное уравнение, получим

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях полученного соотношения, построим систему уравнений для определения коэффициентов А и В:

- при x: 26А = 52;

- при x0:

Из первого уравнения находим А = 2, тогда из второго уравнения будем иметь

Следовательно, уч = 2х + 10/13, а общее решение исходного дифференциального уравнения

Потребуем, чтобы полученное решение удовлетворяло поставленным начальным условиям:

Таким образом, для определения коэффициентов С1 и С2 имеем систему уравнений

Тогда

а искомое частное решение будет иметь вид: