Путешествие в историю математики - Свечников А. А. 1995

Из истории арифметических действий

Сложение

Еще в древности люди научились считать предметы, называя число их по порядку: 1, 2, 3... Но сущность счета не только в том, чтобы называть по порядку числа, но и в присчиты­вании, т. е. в прибавлении единицы к перво­начальному числу, затем еще одной единицы, затем еще одной и т. д. Овладе­ние счетом требует умения прибавлять единицу к любому числу и к полученному от этого сложе­ния числу снова прибавлять еди­ницу и т. д.

Итак, сложение числа с едини­цей возникло с появлением счета. В дальнейшем сложение двух чи­сел выразилось в присчитывании к данному числу по одному всех единиц второго слагаемого. По­наблюдайте, как складывают чи­сла малыши. Например, чтобы прибавить к трем два, ребенок на одной руке оставляет незагнуты­ми 3 пальца, а на второй — 2 паль­ца и сначала считает три пальца (загибая каждый) на одной руке, а затем также присчитывает к ним по одному пальцы другой руки. Когда все пальцы загнуты — сло­жение закончено. На следующем этапе обучения ребенок уже не пересчитывает единицы первого слагаемого, а сразу называет его и присчитывает к нему по одному все единицы второго слагаемого.

Сотни лет люди древнего мира выполняли сложение подобным же образом, присчитывая к пер­вому данному множеству предме­тов по одному предмету, взятому из второго множества, до тех пор, пока все предметы (члены) второ­го множества не будут исчерпаны.

Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно с помощью каких-либо предметов — пальцев, камешков, ракушек, бобов и пр., а позже на специальных приборах — счетной скамье, абаке, счетах.

Только после того как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записы­вать цифрами, подобно тому как это делаем мы, индийские мудре­цы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычисле­ниях они записывали числа па­лочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную дос­ку. Цифры, изображенные на пес­ке, легко было стирать, а на их ме­сте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято записывать слагаемые в стол­бик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сло­жение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее за­писанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

Примеры:

Примечание. Здесь знак х указывает, что в числе 13 снача­ла была записана цифра 1, а за­тем она прибавлена к сумме 3 + 6 = 9 и вписано не 9, а 10.

Индийский прием сложения по­заимствовали математики Сред­него и Ближнего Востока, а от них в начале IX в. он перекочевал в Европу.

С XV в. способ письменного сло­жения чисел принял современный вид, а до этого долгое время сла­гаемые записывали одно подле другого без всякого знака между ними. В начале XV в. действие сложения стали обозначать на­чальной буквой слова плюс (в ла­тинском алфавите — Р), которое означало «сложить». К концу того же века отдельные математики стали обозначать сложение зна­ком 4-, который вскоре получил всеобщее признание. Это быст­рое признание нового знака прои­зошло, видимо, потому, что его начертание напоминает сложе­ние двух палочек.

В Древнем Египте знаком сложения служило схематическое изображение шагающих ног человека.

Однако изобретение особых знаков для обозначения арифме­тических действий нельзя полно­стью приписывать только евро­пейским математикам. Еще древ­ние египтяне обозначали сложе­ние особым знаком — рисунком шагающих ног.

Название слагаемое впервые встречается в работах математи­ков XIII в., а понятие «сумма» по­лучило современное толкование только в XV в. До этого времени оно имело более широкий смысл — суммой называли результат лю­бого из четырех арифметических действий.

Вычитание

В Древней Индии вычитание чи­сел выполняли способом отсчи­тывания от уменьшаемого по од­ному, пока не получится вычитае­мое. Например, вычитая от девя­ти пять, считали: «Девять без од­ного — восемь, девять без двух — семь, девять без трех — шесть, девять без четырех — пять, де­вять без пяти — четыре. Все еди­ницы вычитаемого (пять) исчерпа­ны, следовательно, 9 - 5 = 4».

Второй способ вычитания (ав­стрийский) состоит в прибавле­нии к вычитаемому такого числа, которое в сумме с вычитаемым даст уменьшаемое. При таком способе, например, считали: «9 - 5: пять прибавить один — шесть, пять прибавить два — семь, пять прибавить три — во­семь, пять прибавить четы­ре — девять. Следовательно, 9 - 5 = 4, так как, прибавив к пя­ти четыре, получаем уменьшае­мое — девять».

Индийские математики выполняли вычитание больших чисел способом, похожим на сложение. Они начинали вычитание с наи­высших разрядов, причем те циф­ры, от которых приходилось «за­нимать» единицу, чтобы раздро­бить ее в десяток низших разряд­ных единиц, они стирали и запи­сывали на место стертой новую, на единицу меньшую цифру. Для них это было удобно, так как в Ин­дии черновые вычисления выпол­няли на доске, посыпанной пес­ком.

Индийский способ вычитания переняли арабы. Но они не стира­ли цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. Это было очень неудобно. Тогда арабские мате­матики, используя тот же прием вычитания, стали начинать дей­ствие с низших разрядов, т. е. раз­работали новый способ вычита­ния, сходный с современным.

Для обозначения вычитания в III в. до н. э. в Греции использова­ли перевернутую греческую букву пси (Ψ). Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой М (m), началь­ной в слове минус. В XVI в. для обозначения вычитания стали применять знак —. Вероятно, этот знак перешел в математику из торговли. Торговцы, отливая для продажи вино из бочек, черточ­кой мелом обозначали число мер проданного из бочки вина. Чтобы отличать знак минус от тире, Л. Ф. Магницкий (XVIII в.) обозна­чал вычитание знаком ÷.

Знак равенства (=) впервые введен английским учителем ма­тематики Р. Рикоррдом в XVI в. Он пояснял: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две па­раллельные линии». Но еще в еги­петских папирусах встречается знак, который обозначал равен­ство двух чисел, хотя этот знак совершенно не похож на знак =.

Названия уменьшаемое и вычи­таемое появились в Европе толь­ко в XVIII в. А слово разность вве­дено на 250 лет раньше.

Умножение

Умножение — это особый (част­ный) случай сложения несколь­ких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были пред­ставлять 20 не только как 10 + 10, но и как два десятка, т. е. 2 • 10, 30 — как три десятка, т. е. три раза повторить слагае­мым десяток — 3 • 10 — и т. д.

Умножать люди начали значи­тельно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложе­ния или последовательного уд­воения. Например, чтобы умно­жить 27 на 13, они составляли за­пись, подобную следующей:

*1 — 27 (складывая 27 + 27 или удваивая 27 • 2, они получали 2 — 54; сложение или удвоение повто­ряли):

Из первого столбика вычисли­тель выбирал те числа, которые в сумме составляли множитель (13), т. е. 1 + 4 + 8, и отмечал их условными значками (у нас эти чи­сла отмечены звездочкой *). За­тем удвоенные числа, стоящие против отмеченных звездочкой, складывали и получали произве­дение. Этот прием (им пользова­лись во многих местах, в том чи­сле и в нашей стране) применялся на практике продолжительное время. Ему даже дали название «способ умножения, применя­емый русскими крестьянами».

В Вавилоне при умножении чи­сел пользовались специальными таблицами умножения — «пред­ками» современных.

В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современно­му. Индийцы производили умно­жение чисел начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последу­ющих действиях надо было заме­нять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении.

Таким образом, математики Ин­дии сразу записывали произведе­ние, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме.

Индийский прием умножения, напомню, перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а пере­черкивали их и надписывали но­вую цифру над перечеркнутой.

В Европу индийский способ ум­ножения пришел через арабов. Только в XV в. европейские мате­матики отказались от перечерки­вания неточных цифр и стали начинать умножение с низших раз­рядов. Европейскими математи­ками было разработано около де­сятка различных вариантов при­ема умножения, например умно­жение «решеткой» и др.

В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название мно­житель упоминается в работах VI в., а множимое — в XIII в.

В России впервые дал названия всем членам (компонентам) умно­жения в начале XVIII в. Л. Ф. Маг­ницкий — автор учебника «Ариф­метика». В нем он указал:

Для обозначения действия ум­ножения одни из европейских ма­тематиков XVI в. употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначав­шем увеличение, умножение, — мультипликация (от этого слова произошло название «мульт­фильм»). В XVII в. некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком — х, а иные употребляли для это­го точку. В XVI — XVII вв. для обо­значения действий применяли различные символы — едино­образия в их употреблении не бы­ло. Только в конце XVIII в. боль­шинство математиков стали упо­треблять в качестве знака умно­жения точку, но допускали и упо­требление косого креста. Знаки умножения (•, х) и знак равенства (=) стали общепризнанными бла­годаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 — 1716).

Деление

Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить. Вычитание из нату­рального числа можно выполнить лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Деление же без остатка выполнимо только для некоторых чисел, причем уз­нать, делится ли одно число на другое, трудно. Помимо того, есть числа, которые вообще нельзя разделить ни на какое число, кро­ме единицы. Делить на нуль нельзя. Эти особенности действия значительно усложнили путь к уяснению приемов деления.

В Древнем Египте деление чи­сел выполняли способом удвое­ния и медиации, т. е. делением на два с последующим сложением отобранных чисел. Например, чтобы разделить 60 на 12, египет­ские математики поступали так: 60 : 12

1 —12*

2 — 24

4 — 48*

8 — 96

(т. е. составляли табличку, в кото­рой делитель (12) сначала удваи­вали, затем учетверяли и т. д.). Из второго столбика отбирали чи­сла, которые в сумме составляли делимое. Строки с этими числа­ми — первую и третью (1 — 12 и 4 — 48, так как 12 + 48 = 60) отмеча­ли особым значком (здесь они от­мечены звездочкой). Отмечен­ные числа складывали и получа­ли ответ: 1 + 4 = 5, так как 12 + 48 = 60. Следовательно, 60 :12 = 5.

А вот более сложный пример: 492 : 12

1 — 12*

2 — 24

4 — 48

8 — 96*

16 — 192

32 — 384*

Поступаем так же, как в пер­вом случае: так как 492 = 384 + 96 + 12, то 492 :12 = (32 + 8 + 1). Следова­тельно, 492 : 12 = 41.

Математики Индии изобрели способ «деление вверх». Они за­писывали делитель под делимым, а все промежуточные вычисле­ния — вверху над делимым. При­чем те цифры, которые при про­межуточных вычислениях подвер­гались изменению, индийцы стира­ли и на их место писали новые.

Позаимствовав этот способ, арабы в промежуточных вычисле­ниях стали цифры перечеркивать и надписывать над ними другие. Такое нововведение значительно усложнило «деление вверх». За­пись деления получалась очень громоздкой и для многих непонятной (поэтому мы его здесь не при­водим). Даже знающие люди допускали при таком способе деле­ния ошибки. Однако европейские математики восприняли способ деления от арабов и пользова­лись им до XVIII в. Вот почему сре­ди итальянских поговорок сохра­нилась: «Трудная вещь — деле­ние», а человек, усвоивший в то время деление, получал звание «доктора абака».

Способ деления, близкий к сов­ременному, впервые появился в итальянской рукописи 1460 г. Этот способ отличался от совре­менного лишь тем, что остаток при вычитании частичного произ­ведения делителя на отдельные разряды частного записывался дважды. Вот, например, как дели­ли числа в XV — XVII вв.

Примечание: подчеркнутые циф­ры записывали в частное, словесные по­яснения и вычисления в скобках приведе­ны для ясности; все приведенные вычи­сления выполняли в уме.

Потребовалось около трех ве­ков, чтобы указанный способ де­ления был окончательно усовер­шенствован и в современном виде принят всеми математиками мира. Попыток усовершенствовать деление было сделано немало, и поэтому приемов деления суще­ствовало около десятка.

На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком — его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление на­чальной буквой из названия этого действия. Арабы ввели для обо­значения деления черту. Черту для обозначения деления от ара­бов перенял в XIII в. итальянский математик Фибоначчи. Он же впервые употребил термин част­ное.

Фибоначчи.

Знак двоеточия (:) для обозна­чения деления вошел в употреб­ление в конце XVII в. До этого у не­которых математиков встречался знак ÷, которым они обозначали это действие.

Результат деления в продол­жение нескольких столетий назы­вали сумма. В России названия делимое, делитель, частное впер­вые ввел Л. Ф. Магницкий в нача­ле XVIII в. Он в своей книге «Арифметика» привел два спосо­ба деления — «деление вверх» и второй способ, близкий к совре­менному.